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目录
专题 1 – 1 集合
6
【题型一】集合的表示
6
【题型二】集合元素的特征
6
【题型三】集合的关系
7
【题型四】集合的运算
7
【题型五】集合与排列组合概率
8
【题型六】新定义
8
【题型七】集合与圆和圆锥曲线
9
专题 2 – 1 幂指对三角函数值比较大小归类
11
【题型一】临界值比较：0、1 临界
11
【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值 (难点)
11
【题型三】差比法与商比法
12
【题型四】利用对数运算分离常数比大小
12
【题型五】构造函数：lnx/x 型函数
13
【题型六】构造函数综合
14
【题型七】放缩 (难点)
14
【题型八】函数奇偶性和单调性等综合
15
【题型九】三角函数值比较大小
15
【题型十】数值逼近
16
专题 2 – 2 中心对称、轴对称与周期性归类
17
【题型一】中心对称性质 1：几个复杂的奇函数
17
【题型二】中心对称性质 2：与三角函数结合的中心对称
17
【题型三】轴对称
18
【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性
18
【题型五】函数周期性问题 1：
19
【题型六】函数周期性问题 2：综合
20
【题型七】画图：放大镜
20
【题型八】利用对称解决恒成立和存在型
21
【题型九】函数整数问题
22
专题 2 – 3 零点
23
【题型一】水平线法：参变分离
23
【题型二】基础图像交点法
23
【题型三】分段函数含参
23
【题型四】研究直线斜率 (临界是切线) 寻找交点关系
24
【题型五】“放大镜”函数的交点
25
【题型六】函数变换：
25
【题型七】对数函数绝对值“积定法”
26
【题型八】高斯函数型
27
【题型九】与三角函数结合
27
【题型十】借助周期性
28
专题 2 – 4 复合二次型和镶嵌函数的零点
30
【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解
30
【题型二】一元二次复合型：根的分布型
30
【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型
31
【题型四】一元二次复合型 (老高考)：线性规划型
32
【题型五】一元二次复合型：函数性质综合型
33
【题型六】嵌套函数基础型
34
【题型七】嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法
35
【题型八】嵌套函数含参型：解析式含参
35
【题型九】嵌套函数含参型：参数在方程
36
【题型十】嵌套函数含参型：双函数型
37
【题型十一】嵌套函数双复合型
38
专题 2-5 零点 2
39
【题型一】函数零点所在区间的判断：用零点存在性定理判断
39
【题型二】函数零点所在区间的判断：数形结合判断
39
【题型三】判断函数零点的个数：利用零点存在性定理判断
39
【题型四】判断函数零点的个数：通过解方程判断
40
【题型五】判断函数零点的个数：利用数形结合法判断零点个数
40
【题型六】函数零点的应用：由零点个数求参数的范围
40
【题型七】函数零点的应用：有关函数零点的求和问题
41
【题型八】函数零点的应用：借助零点比较大小
41
专题 3 – 1 导数求切线及公切线归类
43
【题型一】求切线基础型：给切点求切线
43
【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点
43
【题型三】求切线基础：无切点求参
44
【题型四】无切点多参
44
【题型五】“过点”型切线
44
【题型六】判断切线条数
45
【题型七】多函数 (多曲线) 的公切线
46
【题型八】切线的应用：距离最值
46
【题型九】切线的应用：距离公式转化型
47
【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用
47
【题型十一】切线的应用：零点等
48
专题 3 – 2 含参讨论
49
【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置 (单参)
49
【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置 (单参)
49
【题型三】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置 (双参)
50
【题型四】上下平移思维基础：反比例函数型
51
【题型五】上下平移：指数型
52
【题型六】上下平移：对数函数型
52
【题型七】一元二次可因式分解型
53
【题型八】一元二次不能因式分解：判别式 +韦达定理 +求根公式
54
【题型九】双线法：指数型
55
【题型十】双线法：对数型
56
【题型十一】含三角函数型讨论
56
【题型十二】二阶求导讨论型
57
【题型十三】已知单调性求参
58
【题型十四】不确定单调增或减求参
58
【题型十五】存在单调增 (减) 区间
59
【题型十六】非单调函数求参
60
专题 3 – 3 导数构造函数十三种归类
61
【题型一】利用 x n f(x) 构造型
61
【题型二】利用 f(x)/x n构造型
61
【题型三】利用 e nx f(x) 构造型
62
【题型四】用 f(x)/e nx构造型
62
【题型五】利用 sinx 与 f(x) 构造型
63
【题型六】利用 cosx 与 f(x) 构造型
64
【题型七】复杂型：e n与 af(x) + bg(x) 等构造型
64
【题型八】复杂型：(kx + b) 与 f(x) 型
65
【题型九】复杂型：与 ln(kx + b) 结合型
65
【题型十】复杂型：基础型添加因式型
66
【题型十一】复杂型：二次构造
67
【题型十二】综合构造
67
【题型十三】技巧计算型构造
68
专题 3 – 4：超难数压轴小题：导数和函数归类 (1)
70
【题型一】整数解
70
【题型二】零点
70
【题型三】同构
71
【题型四】恒成立求参：移项讨论型
71
【题型五】恒成立求参：代入消参型 (虚设根型)
72
【题型六】恒成立求参：构造函数
73
【题型七】恒成立求参：分离参数 (常规)
74
【题型八】恒成立求参：分离参数 (洛必达法则)
74
【题型九】恒成立求参：倍函数
75
【题型十】恒成立求参：双函数最值型
75
【题型十一】数列与导数：
76
专题 3 – 5 超难压轴小题：导数与函数归类 (2)
78
【题型一】导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于 y = x 对称关系 (原函数与反函数) 78
【题型二】导数中的“距离”2：构造型距离
78
【题型三】导数中的“距离”3：其他距离
79
【题型四】极值点偏移
80
【题型五】嵌套函数求参
80
【题型六】多参型 1：复杂讨论型
81
【题型七】多参型 2：凸凹翻转型
81
【题型八】多参型 3: 比值代换等代换
82
【题型九】多参型 4：韦达定理型
82
【题型十】多参型 5：“二次”最值型
83
专题 3 – 6 导数压轴大题归类 (1)
85
【题型一】求参 1：端点值讨论型
85
【题型二】求参 2：“存在”型
85
【题型三】求参 3：“恒成立”型
85
【题型四】求参 4：分离参数之“洛必达法则”
86
【题型五】同构求参 5：绝对值同构求参型
86
【题型六】同构求参 6：x1与 x2构造新函数型
87
【题型七】零点型
87
【题型八】不确定根型
88
【题型九】取整讨论型
88
【题型十】证明不等式 1：基础型
88
【题型十一】证明不等式 2：数列不等式之单变量构造型
89
【题型十二】证明不等式 3：数列不等式之无限求和型
89
【题型十三】证明不等式 4：构造单变量函数型
90
【题型十四】证明不等式 5：凑配主元
90
专题 3 – 7 导数压轴大题归类：不等式证明归类 (2)
92
【题型一】不等式证明 6: 凹凸翻转型
92
【题型二】不等式证明 7：三角函数与导数不等式
92
【题型三】不等式证明 8：极值点偏移之不含参型
93
【题型四】不等式证明 9：极值点偏移之含参型
93
【题型五】不等式证明 10：三个“极值点 (零点)”不等式
95
【题型六】不等式证明 11：比值代换 (整体代换等)
95
【题型七】不等式证明 11：非对称型 (零点 x1 与 x2 系数不一致)
97
【题型八】不等式证明 12：韦达定理型
97
【题型九】不等式证明 13：利用第一问
98
【题型十】不等式证明 14：含 ex 和 lnx 型
99
【题型十一】不等式证明 15：先放缩再证明
100
【题型十二】不等式证明 16.：切线放缩证明两根差型 (剪刀模型)
100
- 2·【题型十三】不等式证明 17：条件不等式证明
101
【题型十四】综合证明：x1与 x2型
102
专题 4 – 1 三角函数性质、最值和 W 小题归类
103
【题型一】图像与性质 1：“识图”
103
【题型二】图像与性质 2：求周期
104
【题型三】图像与性质 3：正余弦函数的对称轴
105
【题型四】图像和性质 4：对称中心
105
【题型五】最值与范围 1：辅助角
106
【题型六】最值与范围 2：一元二次正余弦有界性
107
【题型七】最值与范围 3：sinx 与 cosx 积和 (差) 换元型
107
【题型八】最值与范围 4：分式型
108
【题型九】最值与范围 5：绝对值型
109
【题型十】三角换元 1：圆代换
109
【题型十一】三角换元 2：双变量消元代换
110
【题型十二】三角换元 3：无理根号代换
111
【题型十三】三角换元 4：正切代换
111
【题型十四】三角换元 5：向量中的三角换元
111
【题型十五】三角函数中 w 求解
112
【题型十六】数列与三角函数
113
4 – 2 正余弦定理与解三角形小题 1
114
【题型一】解三角形基础：角与对边
114
【题型二】判断三角形形状
114
【题型三】最值与范围 1：先判断角
115
【题型四】最值与范围 2：余弦定理
115
【题型五】最值与范围 3：辅助角
116
【题型六】最值与范围 4：均值不等式
117
【题型七】最值与范围 5：周长最值
117
【题型八】面积 1: 消角
118
【题型九】面积 2：正切代换
118
【题型十】最值与范围 6：建系设点
119
【题型十一】最值与范围 7：求正切的最值范围
120
【题型十二】图形 1：中线
120
【题型十三】图形 2：角平分线
121
【题型十四】图形 3：高
122
【题型十五】图形 4：四边形
123
专题 4 – 3 正余弦定理与解三角形小题归类 2
124
【题型一】图形 5：“扩展线”
124
【题型二】向量
124
【题型三】四心 1：外心
125
【题型四】四心 2：内心
126
【题型五】四心 3：重心
127
【题型六】四心 4：垂心
127
【题型七】解三角形应用题
128
【题型八】超难压轴小题 1
129
【题型九】超难压轴小题 2
130
专题 4 – 4 三角函数与解三角形大题归类
132
【题型一】Asin(ωx + φ) 图像与性质 1: 给图求解析式和值域 (最值)
132
【题型二】Asin(ωx + φ) 图像与性质 2: 二倍角降幂公式恒等变形
133
【题型三】Asin(ωx + φ) 图像与性质 3: 恒等变形 (“打散”-重组 -辅助角)
134
【题型四】Asin(ωx + φ) 图像与性质 4: 零点求参
135
【题型五】解三角形基础：正弦定理、角与对边
136
【题型六】解三角形基础 2：余弦定理变形
137
【题型七】解三角形 1：面积最值
137
【题型八】解三角形 2：周长最值
138
【题型九】解三角形 3：边长最值
139
【题型十】解三角形 4：不对称型最值
140
【题型十一】解三角形 5：中线
140
【题型十二】解三角形 6：角平分线
141
【题型十三】三角形存在个数
142
【题型十四】四边形转化为解三角形
143
【题型十五】解三角形：四边形求最值
144
【题型十六】三角形中证明题
145
【题型十七】解三角形综合
146
【题型十八】建模应用
147
专题 5 向量小题归类
150
【题型一】向量基础：“绕三角形”(基底拆分)
150
【题型二】系数未知型“绕三角形”
150
【题型三】求最值型“绕三角形”
151
【题型四】数量积
152
【题型五】数量积最值型
153
【题型六】向量模
154
【题型七】投影向量
154
【题型八】向量技巧 1：极化恒等式
155
【题型九】向量技巧 2：等和线
155
【题型十】向量技巧 3：奔驰定理与面积
156
【题型十一】解析几何中的向量
157
【题型十二】向量四心
158
【题型十三】综合应用
158
【题型十四】超难小题
159
专题 6 – 1 数列递推求通项 15 类归纳
161
【题型一】通过“累加法”学通项思想 1：基础型
161
【题型二】通过“累加法”学通项思想 2：换元型与同除型
161
【题型三】通过“累加法”学通项思想 3：复杂“同除换元型”
162
【题型四】累积法
162
【题型五】周期数列
162
【题型六】构造二阶等比数列型 (待定系数型)
163
【题型七】分式递推
163
【题型八】构造二阶等差数列
163
【题型九】前 n 项积型
164
【题型十】特殊通项 1：“和”型求通项
164
【题型十一】特殊数列 2：正负相间讨论型
165
【题型十二】特殊数列 3：奇偶讨论型
165
【题型十三】特殊数列 4：“求和公式换元”型
166
【题型十一】特殊数列 5：因式分解型求通项
166
【题型十五】特殊数列 6：其他几类特殊数列求通项
167
【题型十六】压轴小题
167
专题 6 – 2 数列求和 15 种类型归纳
169
【题型一】求和思维基础：由 Sn求 an的关系
169
【题型二】错位相消法三种思维求法
169
【题型三】分组求和法
170
【题型四】求和难点 1：裂项相消基础思维
170
【题型五】求和难点 2：形如 f(n)
pq
型函数型裂项相消
171
【题型六】求和难点 3：指数型裂项相消
172
【题型七】求和难点 4：指数等差型裂项相消
172
【题型八】求和难点 5：奇偶正负型裂项相消
172
【题型九】求和难点 6：裂项为“和”型以相消
173
【题型十】求和难点 7：指数型裂项为“和”以相消
173
【题型十一】求和难点 8：无理根式型裂项
174
【题型十二】求和难点 9：三项积式裂项相消
174
【题型十三】求和难点 10：先放缩后裂项
174
【题型十四】求和难点 11：利用组合数公式裂项求和 (理科)
175
【题型十五】求和难点 12：分段数列求和
175
专题 7 – 1 线性规划归类
177
【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离 (圆系)
177
【题型二】由参数确定图像形状
177
【题型三】含参线性规划
178
【题型四】目标函数变化型 1：绝对值型
179
【题型五】目标函数变化型 2：分式型
179
【题型六】目标函数变化型 3：二次型
180
【题型七】目标函数变化型 4：向量型
180
【题型八】导数和函数型
181
专题 7 – 2 基本不等式归类
182
【题型一】基础型
182
【题型二】“1”的代换型
182
【题型三】“和”与“积”互消型
182
【题型四】以分母为主元构造型
183
【题型五】构造分母：待定系数
183
【题型六】分子含参型：分离分子型
184
【题型七】反解代入型: 消元法
185
【题型八】因式分解型
185
【题型九】均值用两次
185
【题型十】换元型
186
【题型十一】“和”与所求和系数不一致型
186
【题型十二】“均值裂项”凑配型
187
【题型十三】整体化同乘方程型
187
【题型十四】三元最值型
187
【题型十五】恒成立求参数型
188
【题型十六】超难压轴小题
188
【题型十七】含指对式
189
专题 8 – 1 立体几何中轨迹问题
190
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
190
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
191
【题型三】由动点保持等距 (或者定距) 求轨迹
191
【题型四】由动点保持等角 (或定角) 求轨迹
192
【题型五】投影求轨迹
193
【题型六】翻折与动点求轨迹 (难点)
194
专题 8 – 2 立体几何截面问题的十种题型
196
【题型一】做截面的基本功：补全截面方法
196
【题型二】截面形状的判断
197
【题型三】平行关系确定截面
198
【题型四】垂直关系确定的截面
199
【题型五】求截面周长
200
【题型六】求截面面积
201
【题型七】球截面
202
【题型八】截面分体积
202
【题型九】不规则截面 (曲线形截面)
203
- 3·【题型十】截面最值
205
专题 8 – 3 一网打尽外接球
206
【题型一】长方体模板 1：三线垂直型
206
【题型二】长方体模板 2：构造长方体 3 个模型
206
【题型三】直棱柱模板：线面垂直 (重点)
207
【题型四】垂面型
208
【题型五】万能模板：外心垂线相交型 (难点)
209
【题型六】特殊几何体：正三棱锥和正四面体
210
【题型七】四棱锥
211
【题型八】组合体外接球
211
【题型九】球定义法
212
【题型十】圆锥与圆柱外接球
213
专题 8-4 立体几何求角度、距离类型
215
【题型一】求异面直线所成的角
215
【题型二】求直线和平面所成角
216
【题型三】求二面角的平面角
217
【题型四】翻折中的角度
218
【题型五】三种角度之间的相互关系
219
【题型六】三种角度比大小
220
【题型七】球中的角度
221
【题型八】压轴小题中的角度题型
221
【题型九】距离
222
专题 8 – 5：立体几何大题 15 种归类 (平行、垂直、体积、动点、最值等非建系题型)
224
【题型一】平行 1：四边形法证线面平行
224
【题型二】平行 2：中位线法证线面平行
225
【题型三】平行 3：做平行平面法证线面平行
227
【题型四】平行 4：难题 –线面探索型
228
【题型五】平行 5：证面面平行
229
【题型六】平行 6：难题 –面面平行探索性题型
231
【题型七】垂直 1：线面垂直
232
【题型八】垂直 2：面面垂直
233
【题型九】垂直 3：难题 –垂直探索性题型
234
【题型十】垂直 4：难题 –翻折中的垂直
235
【题型十一】体积 1：常规求法和等体积转化型
236
【题型十二】体积 2：难题 –多面体割补型
237
【题型十三】体积 3：难题 –两部分体积比
238
【题型十四】体积 4：难题 –动点型
239
【题型十五】体积 5：难题 –最值型
240
专题 9 – 1 圆锥小题压轴九类
242
【题型一】第一定义及其应用
242
【题型二】第二定义及应用
242
【题型三】第三定义及其应用
243
【题型四】焦点三角形与离心率
244
【题型五】定比分点
244
【题型六】焦点三角形与四心
245
【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质
246
【题型八】切线与切点弦
246
【题型九】多曲线
247
专题 9 – 2 轨迹八类求法
249
【题型一】直接法求轨迹
249
【题型二】相关点代入法
249
【题型三】定义法
250
【题型四】交轨法
250
【题型五】参数法
251
【题型六】立体几何中的轨迹
251
【题型七】向量与轨迹
252
【题型八】复数中的轨迹 (新高考)
253
专题 9 – 3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型
255
【题型一】五个方程题型框架
255
【题型二】直线设法
255
【题型三】双变量直线核心理解
256
【题型四】直线过定点
258
【题型五】圆过定点
259
【题型六】面积的几种求法
261
【题型七】面积最值
261
【题型八】定值
264
【题型九】最值与范围
266
【题型十】第六个方程的积累
267
专题 9 – 4 圆锥曲线点代入和非对称等题型
269
【题型一】基础型：韦达定理 +点带入法
269
【题型二】定比分点型：a = λb
270
【题型三】点带入型：抛物线独有的代入方法
270
【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型
271
【题型五】切线
272
【题型六】暴力计算型：求根公式
273
【题型七】无韦达定理：点代入法
275
【题型八】坐标运算
277
【题型九】综合题
278
专题 9 – 5 离心率归类训练
280
【题型一】判断横放竖放求参
280
【题型二】直接法
280
【题型三】补连另一焦点利用定义
281
【题型四】余弦定理 1：基础型
281
【题型五】余弦定理 2：勾股定理用两次
282
【题型六】余弦定理 3：余弦定理用两次
283
【题型七】中点型
284
【题型八】多曲线交点 1：和抛物线
284
【题型九】多曲线交点 2：与圆
285
【题型十】多曲线交点 3：双曲线和椭圆
286
【题型十一】双曲线特性 1：渐近线
286
【题型十二】双曲线特性 2：内心
287
【题型十三】难点 1：借助向量构造
288
【题型十四】难点 2：小题大做型
289
专题 10 – 1 统计：线性和非线性回归与残差
290
【题型一】线性回归
290
【题型二】残差
292
【题型三】剔除数据重新计算
293
【题型四】非线性回归 1：指数型
295
【题型五】非线性回归 2：反比例型
298
【题型六】非线性回归 3：对数型
301
【题型七】非线性回归 4：其他函数型
302
专题 10 – 2 概率压轴大题 (理)
306
【题型一】马尔科夫链基础模型
306
【题型二】马尔科夫链之传球模型
306
【题型三】游走模式
308
【题型四】药物试验模式
309
【题型五】商场促销
310
【题型六】证明概率、期望等不等式
311
【题型七】摸球与射击模型
313
【题型八】模拟压轴题选讲
314
专题 10 – 3 概率小题基础
317
【题型一】古典概型 1：枚举法
317
【题型二】古典概型 2：与排列组合相结合
317
【题型三】几何概型 1：长度角度
318
【题型四】几何概型 2：面积 1
318
【题型五】几何概型 2：面积 2-会面
320
【题型六】几何概型 3：体积
320
【题型七】几何概型 4：坐标系型
321
【题型八】几何概型 5：线性规划
322
【题型九】几何概型 6：近似估值应用
323
【题型十】几何概型 7：导数函数等综合
323
【题型十一】几何概型 8：微积分型 (理)
324
【题型十二】圆锥曲线中的几何概型
325
【题型十三】综合应用
326
专题 10 – 4 排列组合小题归类
328
【题型一】人坐座位模型 1：捆绑与插空
328
【题型二】人坐座位模型 2：染色 (平面)
328
【题型三】人坐座位模型 3：染色 (空间):
329
【题型四】书架插书模型
330
【题型五】球放盒子模型 1：球不同，盒子也不同
331
【题型六】球放盒子模型 2：球相同，盒子不同
331
【题型七】相同元素排列模型 1：数字化法
332
【题型八】相同元素排列模型 2：空车位停车等
333
【题型九】相同元素排列模型 3：上楼梯等
333
【题型十】多事件限制重叠型
334
【题型十一】多重限制分类讨论
334
【题型十二】综合应用，
335
专题 11 – 1 参数方程与极坐标大题 15 种归类
337
【题型一】消参难点 1：分母二次分式型消参
337
【题型二】消参难点 2：正余弦对偶型
337
【题型三】消参难点 3：构造正切公式型
338
【题型四】参数方程核心思维 1：参数方程即动点坐标
339
【题型五】参数方程核心思维 2：抛物线的参数方程可化为斜率
340
【题型六】极坐标思维 1：极坐标弦长
340
【题型七】极坐标思维 2：两根韦达定理型
341
【题型八】极坐标思维 3：求最值与范围
342
【题型九】极坐标思维 4：多线型
342
【题型十】极坐标思维 5：极坐标分段型
343
【题型十一】直线参数方程思维 1：换“起点”与化标准 t
344
【题型十二】直线参数方程思维 2：弦长公式
【题型十三】直线参数方程思维 3：解析关于 t 的韦达定理
【题型十四】直线参数方程思维 4：综合难度较大的题
【题型十五】综合：轨迹
专题 11 – 2 不等式选讲归类
【题型一】解不等式：含参
【题型二】绝对值恒成立 (存在) 求参 1：公式法“和”
- 4·【题型三】绝对值恒成立 (存在) 求参 2：公式法“差”
【题型四】绝对值恒成立 (存在) 求参 3：给解集 (或子集)
【题型五】绝对值恒成立 (存在) 求参 4：利用单调性求参
【题型六】绝对值恒成立 (存在) 求参 5：形如b ± c a
技巧型
【题型七】绝对值和均值型
【题型八】证明不等式 1：柯西型“定位法”
【题型九】证明不等式 2：柯西“分母分子配对”型
【题型十】证明不等式 3：柯西取等与“圆系凑配”型
【题型十一】证明不等式 4：三元不等式证明
【题型十二】证明不等式 5：分析法与综合法
专题 12 数学情景与新文化
类型一: 函数类新文化题型
类型二: 三角形类新文化题型
类型三: 向量类新文化题型
类型四: 数列类新文化题型
类型五: 几何类新文化题型
类型六: 概率类新文化题型
高中数学 130 个快速解题公式
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